Regole di algebra di Boole

Regole di algebra di Boole si basano sulla logica booleana che è stato proposto da George Boole nel 1840. E 'incredibile, nel senso che è l'algebra di soli due valori, 0 e 1 e' vero 'e' false '. Eppure costituisce la base di molte operazioni complesse in matematica, informatica ed elettronica digitale. Quando si parla di mega e gigabyte di memoria del computer, in realtà stiamo riprendendo i concetti di algebra booleana. Algebra booleana costituisce la base di porte logiche in elettronica. In realtà, booleane operazioni algebriche può essere rappresentata con l'aiuto di porte logiche. Ora, quali sono queste operazioni? Ebbene, essi includono operazioni come congiunzione (AND), disgiunzione (OR) e il complemento (NOT), analogo a operazioni matematiche, come la moltiplicazione, l'addizione e la negazione, rispettivamente. Oltre a queste operazioni di base, ci sono alcune operazioni derivate possibile attraverso una combinazione di quelli di base. Regole di algebra booleana booleane includono le leggi così come le identità e le proprietà booleane che sono simili a quelli in algebra. Come algebra booleana si basa su due soli valori, cioè 0 e 1, qualsiasi espressione booleana può essere risolto utilizzando una tabella di verità, in cui ogni variabile nell'espressione vengono assegnati i valori 0 e 1. Questa è un'altra cosa interessante di Math Boolean. Passiamo ora sono le regole dell'algebra booleana.

Ci sono alcune analogie, che sarò riferimento, ulteriormente in questo articolo. Algebra booleana è più facile da capire se appreso con l'uso di queste analogie. Una analogia più logica è quella degli operatori booleani, 'e', ​​'or' e 'non' con operatori matematici per la moltiplicazione, l'addizione e la negazione. L'altra è analogia con interruttori elettrici disposti in serie e parallelo. Un circuito in cui gli interruttori sono in serie è analoga alla operazione AND mentre un circuito parallelo è analoga alla OR. Il valore dello switch deve essere considerato uno quando è acceso o chiuso, e 0 quando è spento o aprire. Quando l'interruttore è in posizione ON, è chiuso, cioè il circuito è completo, mentre in posizione OFF, è aperto, il che significa che il circuito è aperto. Inoltre, si dovrebbe essere capito, che il valore 1 indica 'true' e 0 indica 'false'.

Operazioni di base di algebra booleana

Queste regole di algebra booleana includono l'applicazione delle operazioni booleane di base ai valori 0 e 1 in diverse combinazioni. Si prega di notare, l'operatore viene indicato con un punto (.), L'operatore OR viene indicato con un segno più (+) e un operatore NOT o negazione è indicata da una barra sul valore o di una singola virgola rovesciata (') a seguito esso. Un operatore che non ha menzionato circa, prima è XOR, noto anche come 'OR esclusivo'. In parole povere, significa o 'questo' o 'che', ma non entrambi, il che implica, la risposta sarà 0 se entrambi gli operandi 'questo' e 'che' sono dello stesso valore. XOR è indicata da un segno più racchiuso in un cerchio. Ora, lasciate che vi presento tre operatori più in algebra booleana. Essi sono, NAND, NOR e XNOR. No, essi non sono difficili. Come abbiamo negazione pianura, indicato da un operatore NOT, abbiamo anche un 'non e', 'O NO' e un 'XOR NOT'. Sì, la negazione di AND è NAND, quella del NOR e OR è quello di XOR è XNOR. Vediamo quali sono le uscite su come applicare diversi operatori tra 1 e 0. Se guardate con attenzione le risposte, troverete che non sono molto difficili da ricavare, in quanto si basano sulla logica pianura.

E

* 1 AND 1 = 1

* 1 e 0 = 0 AND 1 = 1

* 0 AND 0 = 0

O

* 1 o 1 = 1

* 1 o 0 = 0 OR 1 = 1

* 0 OR 0 = 0

NON

* NON 0 = 1

* NON 1 = 0

NAND

* 1 NAND 1 = 0

* 1 NAND 0 = 0 NAND 1 = 0

* 0 NAND 0 = 1

NOR

* 1 NOR 1 = 0

* 1 NOR NOR 0 = 0 1 = 0

* NOR 0 0 = 1

XOR

* 1 XOR 1 = 0

* 1 XOR 0 = 0 XOR 1 = 1

* 0 XOR 0 = 0

XNOR

* 1 XNOR 1 = 1

* 1 XNOR 0 = 0 XNOR 1 = 0

* 0 XNOR 0 = 1

Identità in Algebra di Boole

X + 0 = X

Questo è semplice da capire come la stessa regola vale per algebra numero reale. La somma di qualsiasi numero e 0 è il numero originale stessa. L'identità può anche essere compresa considerando le operazioni di base o di cui sopra. Come si deve aver visto, 0 + 0 = 0 while 1 + 0 = 1, che è come dire che X + 0 = X.

X + 1 = 1

Anche in questo caso, se si guarda al funzionamento di base OR, troverete, 0 + 1 = 1 e 1 + 1 = 1, il che significa che qualsiasi cosa aggiunti a 1 dà 1 come valore di uscita. L'identità può anche essere interpretata come, se il valore di uno qualsiasi degli operandi in un'operazione OR, è 1, la risposta è 1.

X + X = X

Guarda il funzionamento di base o dato in precedenza. Si noterà che 0 + 0 = 0 e 1 + 1 = 1, che significa anche che X + X = X. Semplice, non è vero? Oppure, guardare a questa logica. Quando si dice, 'questo' o 'quella', vuol dire scegliere uno da loro. Ora, se i due valori che si desidera scegliere una da, sono gli stessi, qui, X e X, qualunque cosa si sceglie, si sta andando a prendere X. E quindi l'identità, X + X = X.

X + X '= 1

Ora immaginate scegliere uno tra un valore e il suo opposto. Dal momento che ci riferiamo alla logica booleana, le uniche opzioni stanno per essere 0 o 1. Ora vediamo qual è l'uscita del OR tra 0 e il suo opposto, vale a dire 1. Oppure vedere che cosa 1 o 0 rendimenti. Entrambi produrre un 1, il che significa che l'uscita di un OR tra un valore negativo e il suo (opposto), è 1.

0.x = 0

Tutto AND con 0 dà 0. Consideriamo ora l'analogia di AND con un circuito contenente interruttori in serie. Anche se uno di essi è in posizione OFF, il circuito non sta per completare, determinando in tal modo non uscita o zero. Così va l'identità, X AND 0 = 0.

1.X = X

Immaginiamo un circuito con un interruttore chiuso e l'altra, una volta chiusa, una volta aperta. Ora, se il circuito è completo dipenderà esclusivamente su ciò che X è in posizione, ON o OFF. Ciò significa 1 e X sta per produrre X.

X.X = X

Si consideri il valore di X come 1. Quindi, X e X significa 1, 1, l'uscita è 1, ossia X. Si consideri ora il valore X come 0. Ora, X e X = 0 AND 0 = 0, che è X. In questo modo si può vedere, che il XX = X.

X.X '= 0

Consideriamo ora un valore di AND con il suo opposto. Se X è 1, si sarebbe AND 1 con il suo opposto o negativo, che è 0. Il risultato finale, in questo caso sarebbe 0. Ora, prendete il valore di X pari a 0. L'operazione AND tra X e il suo negativo, qui il negativo di 0, che è 1, darà 0. 0 AND 1 = 0. Questo dimostra l'identità, X.X '= 0.

Leggi algebra di Boole

Legge associativa

Questa legge si applica sia operatori AND e OR in algebra booleana. Si consideri l'analogia delle operazioni di moltiplicazione e addizione per AND e OR rispettivamente. In algebra dei numeri reali, il prodotto non dipende dall'ordine in cui vengono moltiplicati operandi. Inoltre, l'aggiunta rimane lo stesso indipendentemente l'ordine in cui vengono aggiunte due o più numeri. Lo stesso vale per le operazioni di AND e OR in algebra booleana. Anche se si considera un circuito analogo a serie come AND e un circuito parallelo analogo a O, troverete che il risultato finale è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui sono disposti gli interruttori in un circuito. Lo stesso è il caso sia AND e OR. Da qui le regole:

A. (B.C) = (a.b). C

A + (B + C) = (A + B) + C

Legge commutativa

Questa legge troppo, si applica sia alle operazioni AND e OR in logica booleana. Sappiamo tutti che il prodotto di due numeri come anche la loro somma, rimane la stessa, indipendentemente dall'ordine in cui si sono moltiplicati o aggiunti. Lo stesso può essere applicato l'algebra di valori booleani. In qualunque ordine e due operandi o in qualsiasi ordine o loro, il loro risultato finale non cambia. Da qui le regole:

A.b = B.A

A + B = B + A

Proprietà Distributiva

La legge distributiva in algebra booleana è la stessa che in algebra dei numeri reali.

A. (B + C) può essere scritta come AB + AC Analogamente, A + (BC) può essere scritta come (A + B). (A + C).

Nota: In algebra booleana, l'operazione AND ha la precedenza sulla OR. Ciò significa che, se ci sono tre operandi, in cui, c'è un OR segno tra il primo e il operandi secondo e AND fra la seconda e la terza o viceversa, in entrambi i casi, l'operazione AND viene eseguita prima della OR funzionamento. Questo è analogo ad effettuare la moltiplicazione prima in aggiunta aritmetica normale. Di qui la regola:

A.b + C = (a.b) + C

A + B.C = A + (B.C)

Norme per la semplificazione delle espressioni booleane

Le espressioni riportate di seguito vengono risolti in base alle identità in algebra booleana, abbiamo appena visto. Capirai le semplificazioni quando leggete.

A = A + AB

A = (1 + B)

A = (1)

A =

A + A '= A + B

= A + AB + A '

A + B = (A + A ')

= A + B (1)

= A + B

(A + B) (A + C) = A + BC

= AA + AC + BC + BA

+ AC = A + B (A + C)

= A + AB + BC

A = (1 + B) + BC

A = (1) + BC

= A + BC

Con questo, arriviamo alla fine della lista regole dell'algebra booleana. Una volta capito le operazioni di base AND e OR e la loro associazione con la moltiplicazione e le operazioni di addizione in numeri reali, non lo troverete così difficile afferrare i concetti di algebra booleana. Logico, no?